HJS STUDY
1학년 / 2학기 / C++ homework / 2강

Homework 2 · 재귀, 백트래킹, 반복 변환

이번 강의에서 배울 것

  • 재귀 함수의 기저 조건과 재귀 호출이 하는 일을 설명할 수 있다.
  • 교환과 복원을 이용해 모든 순열을 생성할 수 있다.
  • 재귀식을 단일 호출 형태로 바꾸고 반복문으로 변환할 수 있다.

Homework 2의 공통 주제는 함수 호출을 따라가며 반복되는 구조를 발견하는 것입니다. 답을 외우기보다 기저 조건, 한 단계의 작업, 호출 후 상태가 어떻게 복원되는지에 집중하세요.

Homework 1 · Homework 2 · Homework 3

출처: Solutions-Homework 2.doc와 Code_Exercise_1.cpp~Code_Exercise_3.cpp. Exercise 3의 코드는 표준 C++에서 실행되도록 void main()을 int main()으로 고치고, 출력 비교 항목의 명백한 함수명 오타를 바로잡았습니다.

재귀를 읽는 세 가지 질문

  1. 언제 멈추는가? — 기저 조건
  2. 호출할 때 입력이 어떻게 작아지는가? — 진행 조건
  3. 호출이 돌아온 뒤 무엇을 하는가? — 결합 단계

Exercise 1 · 이항계수 계산

Problem (Original)

Homework 2.doc (Handout 2), Exercise 1

Exercise 1

Problem. 1) Write a function that computes the value of the binomial coefficient

C(n, r) = n! / ((n - r)! · r!)
  1. Embed your function into a little program that reads two integers n and r from std::cin and writes the value of the binomial coefficient to std::cout.
문제 한국어 번역 보기

문제. 1) 이항계수 C(n, r) = n! / ((n - r)! · r!)의 값을 계산하는 함수를 작성하세요.

  1. 이 함수를 작은 프로그램에 넣어, std::cin으로 두 정수 n, r을 읽고 이항계수 값을 std::cout으로 출력하세요.

개념과 예제

문제와 공식

정수 n, r을 입력받아 이항계수 C(n, r)을 출력합니다.

n! = n × (n-1) × ... × 2 × 1
C(n, r) = n! / ((n-r)! × r!)

팩토리얼 함수는 n <= 1에서 1을 반환하고, 그보다 크면 n * fac(n - 1)을 반환합니다. 따라서 호출할 때마다 인자가 1씩 줄어 기저 조건에 도달합니다.

정답 코드 보기정답 코드 숨기기
homework2_exercise1.cpp
#include <iostream>
 
int fac(int n) {
    if (n <= 1)
        return 1;
    else
        return n * fac(n - 1);
}
 
int binomial_coefficient(int n, int r) {
    return fac(n) / (fac(n - r) * fac(r));
}
 
int main() {
    int n, r;
    std::cout << "Enter your value for n:";
    std::cin >> n;
    std::cout << "\nEnter your value for r:";
    std::cin >> r;
    std::cout << "The binomial coefficient of n:" << n << " and r:" << r
              << " is " << binomial_coefficient(n, r) << std::endl;
}

n = 5, r = 2이면 5! / (3! × 2!) = 120 / 12 = 10입니다.

이 정답은 과제에서 제시한 팩토리얼 공식을 직접 구현한 것입니다. 0 <= r <= n이고 팩토리얼 결과가 int 범위에 들어간다는 전제가 필요합니다. 일반적인 32비트 int에서는 13!부터 범위를 넘으므로 큰 입력에는 곱하면서 나누는 방식이나 더 큰 정수 표현이 필요합니다.

Exercise 2 · 백트래킹으로 모든 순열 출력

Problem (Original)

Homework 2.doc (Handout 2), Exercise 2

Exercise 2

Problem. Write a function permutNumbers that prints all n! many permutations of the numbers 1 to n on std::out.

Example: the output for permutNumbers(3) shall be:

123, 132, 213, 231, 312, 321
문제 한국어 번역 보기

문제. 1부터 n까지의 수로 만들 수 있는 n!개의 순열을 모두 출력하는 함수 permutNumbers를 작성하세요.

예: permutNumbers(3)의 출력은 123, 132, 213, 231, 312, 321이어야 합니다.

개념과 예제

핵심 아이디어

배열의 위치 i에 들어갈 값을 i부터 마지막 위치까지 하나씩 골라 교환합니다. 나머지 위치는 재귀 호출에 맡기고, 호출이 끝나면 같은 두 원소를 다시 교환해 원래 상태로 되돌립니다.

선택: a[i]와 a[j] 교환
탐색: i + 1 위치의 순열 생성
복원: a[i]와 a[j] 다시 교환

이 선택 → 탐색 → 복원 구조가 백트래킹입니다. 복원을 빼면 한 분기에서 바뀐 배열이 다음 분기에 남아 올바른 후보를 탐색하기 어렵습니다.

정답 코드 보기정답 코드 숨기기
homework2_exercise2.cpp
#include <iostream>
 
void swap(int& x, int& y) {
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp;
}
 
void print_array(int a[], int n) {
    for (int j = 0; j <= n; j++)
        std::cout << a[j];
    std::cout << std::endl;
}
 
void permute(int a[], int i, int n) {
    std::cout << "Start Call i: " << i << " array: ";
    print_array(a, n);
 
    if (i == n) {
        print_array(a, n);
    } else {
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            std::cout << "swap to   i:" << i << " j: " << j
                      << " with a[i]: " << a[i] << " and a[j]: " << a[j] << std::endl;
            swap(a[i], a[j]);
            permute(a, i + 1, n);
            std::cout << "swap back i:" << i << " j: " << j
                      << " with a[i]: " << a[i] << " and a[j]: " << a[j] << std::endl;
            swap(a[i], a[j]);
        }
    }
 
    std::cout << "End  Call i: " << i << " array: " << std::endl;
}
 
void permutNumbers(int n) {
    int a[30];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i - 1] = i;
 
    permute(a, 0, n - 1);
}
 
int main() {
    permutNumbers(3);
    return 0;
}

제공 코드는 재귀 흐름을 관찰하도록 Start Call, swap to, swap back, End Call 진단 메시지도 출력합니다. 순열만 필요하다면 이 메시지를 지우고 기저 조건의 print_array만 남기면 됩니다.

permutNumbers(3)에서 첫 위치를 1로 고정한 분기는 123, 132를 만들고, 복원한 뒤 첫 위치를 2로 바꾸어 213, 231을 만듭니다. 마지막으로 첫 위치를 3으로 바꾸어 321, 312를 만듭니다. 모든 순열 n개를 실제로 출력하므로 시간은 최소 Ω(n · n!)이고, 재귀 깊이와 배열을 제외한 호출 스택은 O(n)입니다.

Exercise 3 · 이중 재귀를 반복문으로 바꾸기

Problem (Original)

Homework 2.doc (Handout 2), Exercise 3

Exercise 3

Problem. Given the following function definition:

int sum_down(int x) {
    if (x >= 0) {
        x = x - 1;
        int y = x + sum_down(x);
        return y + sum_down(x);
    } else {
        return 1;
    }
}
  • (a) What is the smallest integer value of the parameter x, so that the returned value is greater than 1.000.000?
  • (b) Rewrite the function, so that it is free of recursion, i.e. give an iterative definition on the foundation of a loop-construct. TIP: First transform the recursive definition, so that you have just a single recursive call.
  • (c) Is it OK to switch the type of the parameter x to double? Discuss your decision / give an argumentation.
  • (d) Is it OK to switch the type of the parameter x to unsigned int? Discuss your decision / give an argumentation.
  • (e) Is it OK to switch the function head to int sum_down(const int x)? Discuss your decision / give an argumentation.
문제 한국어 번역 보기

문제. 다음 함수 정의가 주어져 있습니다(위 코드).

  • (a) 반환값이 1,000,000보다 커지게 하는 매개변수 x의 가장 작은 정수값은?
  • (b) 재귀가 없도록 함수를 다시 작성하세요. 즉 반복문을 바탕으로 한 반복적 정의를 제시하세요. 팁: 먼저 재귀 호출이 하나만 남도록 재귀 정의를 변형하세요.
  • (c) 매개변수 x의 자료형을 double로 바꿔도 될까요? 판단과 근거를 제시하세요.
  • (d) 매개변수 x의 자료형을 unsigned int로 바꿔도 될까요? 판단과 근거를 제시하세요.
  • (e) 함수 머리를 int sum_down(const int x)로 바꿔도 될까요? 판단과 근거를 제시하세요.

개념과 예제

원래 함수 단순화

원래 함수는 같은 sum_down(x)를 두 번 호출합니다.

int sum_down(int x) {
    if (x >= 0) {
        x = x - 1;
        int y = x + sum_down(x);
        return y + sum_down(x);
    }
    return 1;
}

두 호출은 같은 인자와 같은 결과를 가지므로 한 번 계산한 값을 두 배 하는 식으로 바꿀 수 있습니다.

f(-1) = 1
f(x) = (x - 1) + 2 × f(x - 1)    (x >= 0)

이제 x = -1에서 시작해 sum = 1을 유지하고, 카운터를 1씩 증가시키며 sum = i + 2 * sum을 계산하면 재귀 호출이 필요 없습니다.

1,000,000을 처음 넘는 입력

반복 값을 계산하면 f(18) = 524269, f(19) = 1048556입니다. 따라서 반환값이 1,000,000보다 커지는 가장 작은 정수 입력은 19입니다.

정답 코드 보기정답 코드 숨기기
homework2_exercise3.cpp
#include <iostream>
 
int sum_down(int x) {
    if (x >= 0) {
        x = x - 1;
        int y = x + sum_down(x);
        return y + sum_down(x);
    }
    return 1;
}
 
int sum_down_small(int x) {
    if (x >= 0)
        return (x - 1) + 2 * sum_down_small(x - 1);
    return 1;
}
 
int sum_down_while(int x) {
    int sum = 1;
    int i = -1;
    while (i < x) {
        sum = i + 2 * sum;
        i = i + 1;
    }
    return sum;
}
 
int sum_down_for(int x) {
    int sum = 1;
    for (int i = -1; i < x; i++)
        sum = i + 2 * sum;
    return sum;
}
 
int main() {
    for (int x = 0; x < 20; x++) {
        std::cout << "x: " << x
                  << " original: " << sum_down(x)
                  << " transformed: " << sum_down_small(x)
                  << " iterative: " << sum_down_for(x) << std::endl;
    }
    return 0;
}

원래 이중 재귀는 T(x) = 2T(x-1) + O(1)이라 호출 수가 지수적으로 증가합니다. 단일 재귀와 반복형은 x에 비례하는 시간 O(x)를 사용합니다. 반복형은 호출 스택이 없어 추가 공간도 O(1)입니다.

자료형 변경 질문

변경판단이유
double x정수 입력만 준다는 전제에서는 가능IEEE 754 double은 일반적인 32비트 정수를 정확히 표현하지만, 비정수 입력까지 허용하면 원래 정수 함수와 의미가 달라짐
unsigned int x부적절x = 0에서 x - 1이 음수가 되지 않고 매우 큰 양수로 언더플로하여 종료 조건이 깨짐
const int x원래 본문 그대로는 불가능함수 안의 x = x - 1이 const 매개변수를 변경하려 하므로 컴파일 오류

const int x를 꼭 사용하고 싶다면 x를 바꾸지 않고 sum_down(x - 1)을 호출하도록 함수를 다시 작성할 수 있습니다. 질문의 핵심은 자료형 이름만 바꿀 때 기존 함수 본문이 그대로 유효한지 판단하는 것입니다.

마무리 점검

  • 재귀는 기저 조건과 입력 감소가 함께 있어야 종료됩니다.
  • 백트래킹은 다음 선택 전에 상태를 복원합니다.
  • 같은 재귀 호출을 두 번 수행한다면 결과를 한 번 계산해 재사용할 수 있는지 확인합니다.
  • unsigned의 0 아래 연산은 음수가 아니라 큰 양수로 돌아갑니다.
오늘도 한 걸음 앞으로.

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