6편 · 통계의 이해 — 표본·척도·확률분포·추정·가설검정

학습 경로 · 3과목 2장 (1)

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범위: 교재 3과목 2장 01 "통계의 이해" — 통계 개요, 확률과 확률분포, 추정과 가설검정.

형광펜 읽는 법: 노랑 핵심 정의·결론 · 빨강 시험에서 헷갈리는 구분·함정 · 파랑 외워야 할 순서·목록

단원 도입

출제 포인트	빈도	이렇게 나온다
층화추출 vs 군집추출	★★★	집단 내·집단 간 동질/이질
척도 4가지	★★★	예시 → 척도 (온도, 순위, 성별, 무게)
1종·2종 오류, 유의수준, p-value 판정	★★★	정의 고르기, p와 α 비교
확률분포의 종류와 쓰임	★★★	상황 → 분포, 기댓값 계산
왜도와 평균·중앙값·최빈값	★★	분포 모양 → 대소 관계
조건부 확률, 베이즈 정리	★★	계산
중심극한정리, 추정량의 조건	★★	정의
비모수 검정의 종류	★★	비모수가 아닌 것 고르기
공분산과 상관계수	★	독립이면 공분산 0 (역은 X)

PART 1 · 통계 개요

1. 전수조사와 표본조사

전수조사: 모집단 전체를 조사. 정확하지만 시간과 비용이 많이 든다.
표본조사: 모집단의 일부(표본)를 뽑아 모집단을 추론.
기술통계(Descriptive): 표본의 특성을 숫자·그래프로 요약 (평균, 히스토그램).
추측통계(Inferential): 표본 통계량으로 모집단의 모수를 추론 (추정, 가설검정).
모수(parameter) 는 모집단의 특성(μ, σ), 통계량(statistic) 은 표본의 특성(표본평균, s).

2. 표본추출 방법

확률적 표본추출

방법	방법	핵심
단순 무작위 추출	모든 원소에 같은 확률로 랜덤 선택	가장 기본
계통 추출	번호를 매기고 일정 간격마다 추출 (예: 7번째마다)	주기성이 있으면 편향
층화 추출 (Stratified)	모집단을 서로 겹치지 않는 층으로 나눈 뒤 각 층에서 무작위 추출	층 내부 동질 · 층 간 이질
군집(집락) 추출 (Cluster)	모집단을 군집으로 나눈 뒤 몇 개 군집을 골라 그 안에서 추출(또는 전수)	군집 내부 이질 · 군집 간 동질

층별 크기에 비례해 뽑으면 비례 층화 추출.
복원 추출은 뽑은 것을 다시 넣고 뽑고, 비복원 추출은 다시 넣지 않는다.

비확률적 표본추출

방법	내용
편의 추출	연구자가 쉽게 접근할 수 있는 대상
판단(의도적) 추출	연구자가 정한 기준에 맞는 대상
할당 추출	기준으로 집단을 나누고 정해진 수만큼 (확률 없이) 채움
눈덩이 추출	응답자가 다음 응답자를 소개
자기 선택 추출	응답자가 스스로 참여 결정

표본오차와 편의

표본오차(Sampling error): 모집단을 대표하지 못하는 표본을 뽑아 생기는 오차 → 표본 크기가 커질수록 0에 가까워진다.
비표본오차(Non-sampling error): 표본오차 외의 모든 오차(측정·응답·입력 오류) → 표본이 커지면 오히려 커질 수 있다.
표본편의(Sampling bias): 추출 방법 때문에 모수를 체계적으로 크게·작게 추정하는 오차 → 확률화(randomization)로 최소화·제거할 수 있다.

3. 자료의 척도

척도	성질	가능한 연산	예
명목척도 (Nominal)	집단 구분만	= , ≠	성별, 혈액형, 출신 지역, 학교
순서척도 (Ordinal, 서열)	구분 + 순서	> , <	학년, 순위, 만족도(상·중·하), 학점 등급
등간척도 (Interval, 구간)	순서 + 간격이 의미 있음, 절대 0 없음	+ , -	섭씨 온도, IQ, 물가지수, 연도
비율척도 (Ratio)	간격 + 절대 0 존재	사칙연산 모두	무게, 키, 나이, 소득, 거리

명목 → 순서 → 등간 → 비율 순으로 정보량이 많아진다. 명목·순서는 질적(범주형), 등간·비율은 양적(수치형) 자료.

4. 기초 통계량

중심 경향

통계량	뜻
산술평균	합 ÷ 개수
기하평균	n개 값을 곱한 뒤 n제곱근 — 성장률·비율의 평균
조화평균	역수의 산술평균의 역수 — 속도·비율의 평균
중앙값(Median)	크기순 가운데 값(짝수 개면 가운데 두 값의 평균) — 이상값에 강건
최빈값(Mode)	가장 자주 나오는 값 (여러 개일 수 있음)

산포(흩어짐)

통계량	뜻
분산	편차 제곱의 평균. 표본분산은 n이 아니라 n - 1로 나눈다(불편추정량)
표준편차	분산의 제곱근 — 원래 단위로 돌아옴
IQR	Q3 - Q1
변동계수(CV)	표준편차 ÷ 평균 — 단위가 다른 자료의 산포 비교
표준오차(SE)	표본평균의 표준편차. σ를 √n으로 나눈 값 → n이 클수록 작아짐

관계

공분산: 두 변수가 함께 변하는 방향. 양수면 같은 방향, 음수면 반대, 0이면 선형 관계 없음. 크기에 상한·하한이 없어 강도를 비교할 수 없다.
상관계수: 공분산을 표준화해 -1에서 1 사이로 만든 값. 1은 완전한 양의 선형, -1은 완전한 음의 선형, 0은 선형 관계 없음.
두 변수가 독립이면 공분산은 0이지만, 공분산이 0이라고 독립인 것은 아니다(비선형 관계가 있을 수 있음).
Z-score: (X - 평균) ÷ 표준편차. 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어졌는지.

5. 왜도와 첨도

왜도(Skewness) — 분포의 비대칭 정도. 0이면 좌우 대칭.

왜도	꼬리 방향	대소 관계
왜도 > 0 (양의 왜도)	오른쪽 꼬리가 김	최빈값 < 중앙값 < 평균
왜도 0	대칭	최빈값 · 중앙값 · 평균이 같음
왜도 < 0 (음의 왜도)	왼쪽 꼬리가 김	평균 < 중앙값 < 최빈값

평균은 꼬리를 따라간다. 소득 분포처럼 소수의 고소득자가 오른쪽 꼬리를 만들면 평균이 중앙값보다 커진다.

첨도(Kurtosis) — 분포가 얼마나 뾰족한가(꼬리가 얼마나 두꺼운가). 정규분포의 첨도는 3이며, 3을 뺀 초과 첨도로 표시하면 정규분포가 0이다. 값이 클수록 뾰족하다.

summary 출력으로 왜도 판단하기 (학습용 출력)

> summary(score)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max.    NA's
  12.00   48.00   55.00   61.20   70.00  198.00       4

평균(61.2) > 중앙값(55) → 왜도 > 0, 오른쪽 꼬리.
하위 25% 경계 48, 상위 25% 경계 70 → IQR 22. 상한 경계는 70 + 1.5 × 22 → 103이므로 198은 이상값.
결측값 4개. Min·Mean 등이 나오므로 수치형 변수(범주형이면 범주별 빈도가 나온다).

PART 2 · 확률과 확률분포

6. 확률의 기초

표본공간(S): 실험에서 나올 수 있는 모든 결과의 집합. 사건은 표본공간의 부분집합, 근원사건은 원소가 하나인 사건.
확률변수: 표본공간의 각 결과에 실수 값을 대응시키는 함수.
조건부 확률: P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B) — B가 일어났을 때 A의 확률.
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A) × P(B), 즉 P(A | B) = P(A). 서로 영향을 주지 않음 (예: 두 주사위의 눈).
배반 사건: 동시에 일어날 수 없음 → P(A ∩ B) = 0 (예: 동전 한 번에 앞면과 뒷면).

베이즈 정리

P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B)

P(A): 사전확률(Prior) · P(A | B): 사후확률(Posterior) · P(B | A): 가능도(Likelihood) · P(B): 증거(Evidence, 정규화 상수)

7. 확률분포

이산형 확률변수: 셀 수 있는 값 → 확률질량함수(PMF), 함수값 자체가 확률, 확률의 합이 1. 기댓값은 Σ x·f(x).
연속형 확률변수: 셀 수 없는 값 → 확률밀도함수(PDF), 구간의 넓이(적분)가 확률, 한 점의 확률은 0. 기댓값은 ∫ x·f(x)dx.

이산 확률분포

분포	상황	기댓값 / 분산
이산 균등분포	모든 값의 확률이 같음 (주사위)	—
베르누이분포	결과가 성공·실패 둘뿐인 1회 시행	p / p(1 - p)
이항분포	베르누이 시행을 n회 했을 때 성공 횟수	np / np(1 - p)
기하분포	처음 성공할 때까지 시행 횟수	1/p / (1 - p)/p²
음이항분포	r번 성공할 때까지 시행 횟수	—
초기하분포	비복원 추출 n번 중 성공 횟수	— (복원이면 이항분포)
다항분포	결과가 셋 이상인 시행을 n번 (주사위 20번 던져 각 눈의 횟수)	—
포아송분포	단위 시간·공간에서 사건 발생 횟수 (1시간 동안 걸려온 전화 수)	λ / λ

연속 확률분포

분포	특징	쓰임
정규분포 N(μ, σ²)	종 모양, 좌우 대칭. 평균 0, 분산 1이면 표준정규분포	Z검정
t분포	정규분포와 비슷하나 꼬리가 두꺼움, 자유도가 커지면 정규분포에 가까워짐	표본이 작을 때(30 미만) 평균 검정 → t검정
카이제곱(χ²)분포	표준정규 변수 제곱의 합, 0 이상, 오른쪽 꼬리	모분산 검정, 범주형 적합도·독립성·동질성 검정
F분포	두 카이제곱 분포의 비	두 집단 분산의 동질성 검정, ANOVA
연속 균등분포	구간 안에서 밀도가 일정	—
지수분포	다음 사건이 일어날 때까지의 대기 시간	—

8. 중심극한정리

PART 3 · 추정과 가설검정

9. 추정

점추정: 모수를 하나의 값으로 추정 (표본평균으로 모평균 추정). 방법: 적률법, 최대우도법(MLE), 최소제곱법.
구간추정: 모수가 포함될 것으로 기대되는 구간을 신뢰수준과 함께 제시 (95% 신뢰구간).

좋은 추정량의 조건 불편성 · 효율성 · 일치성 · 충족성 ("불효일충")

조건	뜻
불편성(Unbiasedness)	추정량의 기댓값이 모수와 같음 (편향 0)
효율성(Efficiency)	불편추정량 중 분산이 가장 작음
일치성(Consistency)	표본이 커질수록 추정량이 모수에 가까워짐
충족성(Sufficiency)	모수에 대한 정보를 최대한 담음

신뢰구간

모분산을 알 때: 표본평균 ± z × (σ ÷ √n). 95%면 z는 1.96, 99%면 2.576.
모분산을 모를 때: 표본표준편차 s와 자유도 n - 1인 t분포를 쓴다.
신뢰구간은 표본이 클수록, 신뢰수준이 낮을수록, 표준편차가 작을수록 좁아진다(정밀해진다).

10. 가설검정

용어	뜻
귀무가설(H0)	"차이가 없다, 효과가 없다, 같다" — 검정의 대상, 기각되기를 기대
대립가설(H1)	연구자가 증명하고 싶은 주장 — "다르다, 크다, 작다"
유의수준(α)	H0가 참인데 기각할 확률(1종 오류)의 허용 한계. 보통 0.05
유의확률(p-value)	H0가 참이라고 가정할 때, 관측된 것만큼(또는 더) 극단적인 결과가 나올 확률
검정통계량	표본에서 계산해 판정에 쓰는 값 (t, F, χ²)
기각역	H0를 기각하게 되는 검정통계량의 범위

판정 규칙

p-value < α → H0 기각(대립가설 채택) · p-value ≥ α → H0 기각하지 못함

1종 오류와 2종 오류

	H0 채택	H0 기각
H0가 참	옳은 결정 (신뢰수준 1 - α)	1종 오류 (α)
H0가 거짓	2종 오류 (β)	옳은 결정 (검정력 1 - β)

양측검정과 단측검정

대립가설이 "같지 않다(≠)" → 양측검정, 기각역이 양쪽에 α/2씩.
대립가설이 "크다(>)" 또는 "작다(<)" → 단측검정, 기각역이 한쪽에 α.

가설검정 풀이 순서: H0·H1 세우기 → 양측·단측 확인 → 일표본·이표본 확인 → 검정통계량·p-value 계산 → p와 α 비교해 판정

11. 모수 검정과 비모수 검정

구분	모수적 검정	비모수적 검정
가정	모집단이 특정 분포(주로 정규분포) 를 따른다고 가정	분포에 대한 가정이 없음
사용 자료	관측값의 크기 (평균·분산)	관측값의 순위·부호
사용 상황	정규성 충족, 표본 충분	정규성 불충족, 표본이 작음, 순서척도
예	t검정, ANOVA, Z검정	아래 표

대표 비모수 검정: 부호 검정, 윌콕슨 부호순위 검정(대응표본), 윌콕슨 순위합 검정 · 만-위트니 U 검정(독립 두 표본), 크루스칼-왈리스 검정(세 집단 이상, ANOVA 대응), 프리드먼 검정, 스피어만 순위상관계수, 런 검정, 콜모고로프-스미르노프 검정.

단원 마무리

장 요약

층화 = 층 내부 동질·층 간 이질, 군집 = 군집 내부 이질·군집 간 동질. 표본편의는 확률화로 줄인다.
척도: 명목(구분) → 순서(순위) → 등간(간격, 절대 0 없음) → 비율(절대 0).
왜도 > 0이면 최빈값 < 중앙값 < 평균, 평균은 꼬리를 따라간다. 정규분포 첨도는 3(초과 첨도 0).
독립이면 공분산 0, 역은 성립하지 않는다. 상관계수는 -1부터 1.
이산: 베르누이·이항·기하·음이항·초기하·다항·포아송. 연속: 정규·t·χ²·F·지수·균등.
중심극한정리: n이 크면 표본평균은 정규분포.
추정량 조건: 불편성 · 효율성 · 일치성 · 충족성.
p < α → H0 기각. 1종 오류(α)는 참인 H0 기각, 2종 오류(β)는 거짓인 H0 채택, 검정력은 1 - β.

단답형 연습

번호를 매겨 일정 간격으로 표본을 뽑는 방법은? ______________
절대 0이 없고 간격만 의미 있는 척도는? ______________
표본평균의 표준편차를 무엇이라 하는가? ______________
단위 시간 동안 사건이 발생한 횟수를 나타내는 분포는? ______________
비복원 추출에서 성공 횟수를 나타내는 분포는? ______________
두 집단의 분산이 같은지 검정할 때 쓰는 분포는? ______________
표본이 클수록 표본평균이 정규분포에 가까워진다는 정리는? ______________
추정량의 기댓값이 모수와 같은 성질은? ______________
귀무가설이 참인데 기각하는 오류는? ______________
독립인 두 표본의 중앙값 차이를 순위로 검정하는 대표 비모수 검정은? ______________

책을 덮고 꺼내 보기

같은 학년의 반 몇 개를 골라 조사하는 것은 이다.
섭씨 온도는 다.
왜도가 음수이면 평균은 중앙값보다 .
검정력은 다.

층화추출과 군집추출의 동질성·이질성 차이는?

층화추출은 층 내부가 동질, 층 간이 이질이고 모든 층에서 뽑는다. 군집추출은 군집 내부가 이질, 군집 간이 동질이고 일부 군집을 골라 조사한다.

네 가지 척도와 예시는?

명목(성별·혈액형), 순서(학년·순위·만족도), 등간(온도·IQ·물가지수), 비율(무게·나이·소득).

왜도 부호에 따른 평균·중앙값·최빈값의 관계는?

왜도 > 0이면 최빈값 < 중앙값 < 평균(오른쪽 꼬리), 왜도 < 0이면 평균 < 중앙값 < 최빈값(왼쪽 꼬리). 평균은 꼬리를 따라간다.

이항분포와 포아송분포의 기댓값·분산은?

이항분포는 기댓값 np, 분산 np(1 - p). 포아송분포는 기댓값과 분산이 모두 λ.

t분포·카이제곱분포·F분포의 쓰임은?

t분포는 소표본 평균 검정, 카이제곱분포는 모분산 검정과 범주형 자료의 적합도·독립성·동질성 검정, F분포는 두 집단 분산 비교와 ANOVA.

1종 오류와 2종 오류의 정의는?

1종 오류(α)는 귀무가설이 참인데 기각하는 오류, 2종 오류(β)는 귀무가설이 거짓인데 채택하는 오류. 검정력은 1 - β.

p-value로 가설을 판정하는 규칙은?

p-value가 유의수준보다 작으면 귀무가설을 기각하고 대립가설을 채택, 크거나 같으면 귀무가설을 기각하지 못한다.

비모수 검정을 쓰는 상황과 대표 검정은?

모집단 분포를 가정할 수 없거나 표본이 작을 때 순위·부호로 검정한다. 부호 검정, 윌콕슨 부호순위·순위합 검정, 만-위트니 U 검정, 크루스칼-왈리스 검정, 스피어만 순위상관.

다음으로 갈 기준: p-value와 α로 판정을 말하고, 상황을 보고 분포를 고를 수 있으면 실제 검정으로 간다: 7편 · 기초통계와 회귀분석.

정답과 해설

확인 문제 정답

군집(집락) 추출.
IQ는 등간척도, 등수는 순서척도.
왜도 > 0, 오른쪽 꼬리가 길다.
불편성, 효율성, 일치성, 충족성.
0.032 < 0.05이므로 귀무가설을 기각한다(대립가설 채택).
2종 오류(β), 1 - β는 검정력(Power).

단답형 정답

계통 추출
등간척도(구간척도)
표준오차(Standard Error)
포아송분포
초기하분포
F분포
중심극한정리
불편성(Unbiasedness)
1종 오류
만-위트니 U 검정(윌콕슨 순위합 검정)